ŠKOMAM 2026

Přednáška představí hudební teorii z matematického pohledu. Cílem je podívat se na to, odkud se berou ladění a stupnice západního typu, a zodpovědět otázku, proč na klavíru „chybí" některé klávesy. Pokusíme se také rozklíčovat, co je matematická nutnost a co je důsledek kultury a biologie.

Obyčejné diferenciální rovnice (ODR) jsou rovnice, které vyjadřují vztah mezi funkcí jedné proměnné a jejími derivacemi. Používají se k modelování mnoha přírodních a technických procesů, jako jsou pohyb, růst populace či změny teploty. Na několika příkladech si ukážeme, že tato zřejmě velmi užitečná partie matematiky umí být i docela zábavná.

V první části přednášky se zaměříme na Monte Carlo metody, což je souhrnný název pro výpočetní algoritmy, které využívají opakované náhodné vzorkování k řešení složitých problémů, přičemž se spoléhají na princip statistické pravděpodobnosti namísto deterministických výpočtů, což je činí efektivními zejména u problémů s mnoha proměnnými, jako jsou vícerozměrné integrály. Monte Carlo metody nutně potřebují generátory náhodných čísel, nicméně v praxi se místo zcela náhodných generátorů používají tzv. pseudo-náhodné generátory, na které se zaměříme v druhé části přednášky.

Dozvíte se, jak popsat stav a postup řešení některých hlavolamů pomocí matematických nástrojů, jak operace podobné sčítání a násobení čísel popisují manipulace s hlavolamy jako je Rubikova kostka, čtyřstěn či dvanáctistěn. Také ukážeme, jak odvodit vlastní algoritmy pro skládání hlavolamu. Takové algoritmy sice nezajistí nejrychlejší řešení hlavolamu, ale zato budou relativně snadno získatelné a hlavně je budeme umět vymyslet sami!

Kdykoliv je potřeba učinit nějaké rozhodnutí, ať už jde o běžnou každodenní situaci nebo o zásadní rozhodnutí, snažíme se předem odhadnout možné důsledky. Mnoho dějů kolem nás je ale do jisté míry ovlivněno náhodou, a proto často nelze budoucí vývoj předpovědět zcela přesně. Právě zde hraje důležitou roli pravděpodobnost, která nám pomáhá vyjadřovat míru nejistoty. Znalost pravděpodobnosti výskytu jednotlivých důsledků je pak klíčovým předpokladem pro každé racionální rozhodování. Bayesova věta představuje základní mechanismus statistického učení, kdy na základě znalosti výskytů některých náhodných jevů (pozorování, data) určujeme nebo zpřesňujeme pravděpodobnosti výskytu jiných jevů. V přednášce se seznámíme se základními pojmy teorie pravděpodobnosti, s pojmem podmíněné pravděpodobnosti a ukážeme si, jak lze Bayesovu větu prakticky využít k získávání informací z dat.

V přednášce si nejprve připomeneme pojem faktoriálu. Poté si všimneme, že faktoriály rostou velmi rychle a pokusíme se odvodit, jak rychlý tento růst je. V poslední části přednášky si ukážeme jednu úlohu, ve které je znalost rychlosti růstu faktoriálů velmi užitečná.

Vše kolem nás je v neustálém pohybu. Většina pohybů, ač se jeví chaoticky, má jakousi pravidelnost a řád a je možno je matematicky zkoumat. K popisu pohybu a změny slouží derivace. Ukážeme si, jak souvisí derivace s okamžitou rychlostí pohybujícího se tělesa, s okamžitým zrychlením a jak s tečnou ke grafu funkce v daném bodě.